С.В. Богомолов О микро - макро иерархии
О микро - макро иерархии
д.ф.-м.н., проф. Богомолов С.В.
ВМК МГУ
Тело человека, мозг, кровь, органы состоят из огромного количества микроскопических частиц. Проявления жизненных процессов являются макроскопическим результатом их взаимодействий. Наука накопила колоссальный объём знаний и на микро, и на макро уровнях. Количественный анализ этих больших данных для понимания законов функционирования сложных систем может быть проведён только на основе математического моделирования. Этот термин кратко можно выразить словами: «модель – алгоритм - программа», или колесо вычислительного эксперимента.
На примере простой и ясной, но далеко не тривиальной, модели газа из твёрдых сфер мы постараемся показать основные этапы построения математической формализации сложной физической системы. Эта методология развивается многими учёными, в частности, в биологическом и социологическом контекстах.
Мы рассматриваем набор из порядка 1025 твёрдых шаров, которые лишь только летают и сталкиваются. Математическое описание эволюции такой системы с неизбежностью приводит к необходимости использования аппарата теории случайных процессов. Для выявления математических и вычислительных особенностей исследуемой задачи важно записать её в безразмерном виде. Эта процедура приводит к появлению числа Кнудсена, физическим смыслом которого является отношение средней длины свободного пробега молекул к характерному размеру задачи. Иерархия микро – макро моделей строится в соответствии с изменением этого параметра от величин порядка единицы (микро) к величинам порядка 0,1 (мезо) и далее - к 0,01 (макро). Аккуратное движение по этому пути приводит к более точным, по сравнению с традиционными, математическим моделям, что сказывается на их большей вычислительной пригодности – природа платит за бережное к ней отношение. В частности, макроскопические уравнения получаются более мягкими для расчётов, чем классические уравнения Навье – Стокса.
Эта иерархия математических постановок порождает соответствующую цепочку вычислительных методов. Микроскопические задачи чаще всего решают с помощью методов Монте – Карло, хотя есть группы, приверженные неслучайным методам решения уравнения Больцмана. Последнее время много внимания уделяется мезо – моделям на основе стохастического моделирования броуновского движения или решения детерминистических уравнений Фоккера – Планка – Колмогорова. Для решения задач сплошной среды используются различные подходы: разностные методы, методы конечных элементов, а также методы частиц. Последние, на наш взгляд, особенно перспективны для всей иерархии, объединяя разные постановки единой вычислительной идеологией.
References
1. L.Boltzmann. Weitere Studien ueber das Waerme gleichgenicht unfer Gasmolaekuler. Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften. 66 (1872), 275-370.
2. A. V. Skorokhod, Stochastic Equations for Complex Systems. Moscow: Nauka, 1983; (Dordrecht: Kluwer Academic, 1987).
3. A. A. Arsen’ev. On the approximation of the solution of the Boltzmann equation by solutions of the Ito stochastic differential equations. USSR Comput. Math. Math. Phys. 1987, 27 (2), 51–59.
4. S. V. Bogomolov, N. B. Esikova, A. E. Kuvshinnikov. Micro-Macro Kolmogorov–Fokker–Planck Models for a Rigid-Sphere Gas. Mathematical Models and Computer Simulations, 2016, 8(5), 533–547.