Исследование решений высокоразмерных моделей распространения ВИЧ-инфекции и туберкулеза

Перцев Н.В.

Омский филиал Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН

Наиболее разработанный класс математических моделей эпидемических процессов опирается на аппарат дифференциальных уравнений различного типа. Обобщения тех или иных моделей приводят к значительному усложнению структуры и размерности используемых систем уравнений. Попытки детального описания эпидемического процесса и получения новых содержательных результатов в рамках сложноструктурированных и высокоразмерных моделей требуют привлечения специальных методов и приемов их исследования.

В докладе рассмотрены математические модели распространения ВИЧ-инфекции и туберкулеза, построенные на основе модификации и обобщения моделей, описанных в работах [1–5]. Представлены результаты исследования устойчивости тривиальных положений равновесия моделей. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости таких положений равновесия, записанные в терминах невырожденных М-матриц [6]. Рассмотрена задача устойчивости решений моделей при постоянно действующих возмущениях. Найденные условия сформулированы в терминах малости численностей групп восприимчивых к инфекции индивидуумов. Приведены рекомендации по проведению мероприятий, направленных на сдерживание эпидемического процесса и снижения уровня заболеваемости для ВИЧ-инфекции и туберкулеза.

Работа выполнена в рамках Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН «Дифференциально-разностные и интегродифференциальные уравнения. Приложения к задачам естествознания» (проект № 80, 2012–2014 г.г.).

Литература

1. Perelman M.I., Marchuk G.I., Borisov S.E., Romanyukha A.A., et. al. Tuberculosis epidemiology in Russia: the mathematical model and data analysis // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2004. Vol.19. № 4. P. 305–314.
2. Авилов К.К., Романюха А.А. Математическое моделирование процессов распространения туберкулеза и выявления больных // Автоматика и телемеханика. 2007. № 9. С. 145–160.
3. Melnichenko A.O., Romanyukha A.A. A model of tuberculosis epidemiology: estimation of parameters and analysis of factors influencing the dynamics of an epidemic process // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2008. Vol.23. №1. P. 1–13.
4. Романюха А.А., Носова Е.А. Модель распространения ВИЧ-инфекции в результате социальной дезадаптации. Управление большими системами. Сборник трудов ИПУ РАН. 2011. № 34. С.227–253.
5. Носова Е.А. Модели контроля и распространения ВИЧ-инфекции. Математическая биология и биоинформатика. 2012. Т. 7. № 2. С. 632–675.
6. Перцев Н.В. Исследование асимптотического поведения решений некоторых моделей эпидемических процессов // Математическая биология и биоинформатика: IV Международная конф., г. Пущино, 14–19 октября 2012 г.: Доклады / Под ред. В.Д. Лахно. М.: Макс Пресс, 2012, С. 139–140